Descriere

Metode numerice – Aplicații în Fortran (eBook PDF) – Autori: Alina Bogoi, Sorin Mitran, Corneliu Berbente – De la Universitatea Politehnica București – Facultatea de Inginerie Aerospațială – Editura Letras, 2020 – Colecția CURS UNIVERSITAR

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Cuprins
I. ŞIRURI, FUNCŢII, MATRICE………………………………………………………………………………….8
1. Şiruri de numere ……………………………………………………………………………………………………8
1.1 Suma şi produsul unui şir de numere ………………………………………………………………..8
1.2 Minimului şi maximului unui şir de numere………………………………………………………9
2. Funcţii reale………………………………………………………………………………………………………..10
2.1 Reprezentarea grafică a funcţiilor generate analitic…………………………………………..10
2.2 Calculul valorii unei funcţii polinomiale într-un punct………………………………………11
3. Determinarea produsului a două matrice ………………………………………………………………..11
4. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………….12
5. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………..12
II. INTERPOLAREA POLINOMIALĂ…………………………………………………………………………14
1. Polinomul de interpolare ………………………………………………………………………………………14
1.1 Forma Newton……………………………………………………………………………………………..15
1.2 Forma Lagrange …………………………………………………………………………………………..16
2. Interpolarea spline de ordinul m…………………………………………………………………………….16
2.1 Interpolarea spline de ordinul 2………………………………………………………………………16
2.2 Interpolarea spline de ordinul 3………………………………………………………………………17
3. Tehnici de programare …………………………………………………………………………………………18
3.1 Evaluarea polinomului de interpolare Newton………………………………………………….18
3.2 Evaluarea polinomului de interpolare Lagrange ……………………………………………….19
3.3 Interpolarea cu funcţii spline de ordinul 2 ……………………………………………………….19
4. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………….20
5. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………..22
6. Exerciţii propuse …………………………………………………………………………………………………23
III. INTERPOLAREA ÎN PLANUL COMPLEX …………………………………………………………….24
1. Interpolarea cu funcţii trigonometrice…………………………………………………………………….25
2. Interpolarea în planul complex………………………………………………………………………………25
2.1 Transfomarea conformă ………………………………………………………………………………..25
2.2 Transfomata Fourier discretă (TFD) ……………………………………………………………….26
2.3 Transformata Fourier Rapidă(TFR) ………………………………………………………………..27
2.3.1 Algoritmul recursiv …………………………………………………………………………………..28
2.3.2 Algoritmul Cooley-Tukey………………………………………………………………………….31
3. Tehnici de programare …………………………………………………………………………………………33
3.1 Interpolarea cu funcţii trigonometrice……………………………………………………………..33
3.1.1 Procedura algoritmului recursiv ………………………………………………………………….33
3.1.2 Procedura algoritmului Cooley-Tukey…………………………………………………………34
4. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………….34
5. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………..36
6. Exerciţii propuse …………………………………………………………………………………………………37
IV. INTEGRAREA NUMERICĂ …………………………………………………………………………………..38
1. Generalităţi …………………………………………………………………………………………………………38
2. Formule de integrare închise …………………………………………………………………………………40
2.1 Metoda trapezelor. Cazul p=1 ………………………………………………………………………..40
2.2 Metoda Simpson 1/3. Cazul p=2…………………………………………………………………….41
2.3 Metoda Simpson 3/8. Cazul p=3…………………………………………………………………….41
3. Formule de integrare deschise……………………………………………………………………………….41
4. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………….44
5. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………..45
6. Exerciţii propuse …………………………………………………………………………………………………46
V. REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE……………………………………………………………47
1. Generalităţi …………………………………………………………………………………………………………47
1.1 Metoda bisecţiei …………………………………………………………………………………………..48
1.2 Metoda secantei……………………………………………………………………………………………48
1.3 Metoda Newton-Raphson………………………………………………………………………………49
1.4 Metoda Bairstow ………………………………………………………………………………………….49
2. Tehnici de programare …………………………………………………………………………………………51
2.1 Etape de rezolvare ………………………………………………………………………………………..51
2.2 Procedura bisecţiei ……………………………………………………………………………………….51
2.3 Procedura Newton-Raphson…………………………………………………………………………..52
2.4 Procedura Bairstow ………………………………………………………………………………………52
3. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………….53
4. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………..55
5. Exerciţii propuse …………………………………………………………………………………………………55
VI. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII ………………………………………………………….55
1. Generalităţi …………………………………………………………………………………………………………56
2. Metode directe de rezolvare a sistemelor liniare………………………………………………………57
2.1 Sisteme liniare particulare……………………………………………………………………………..57
2.1.1 Forma diagonală……………………………………………………………………………………….57
2.1.2 Forma triunghiulară…………………………………………………………………………………..57
2.2 Factorizările Crout şi Doolittle……………………………………………………………………….57
2.3 Eliminarea Gauss………………………………………………………………………………………….58
2.4 Eliminarea Gauss-Jordan……………………………………………………………………………….59
2.5 Rafinarea soluţiei………………………………………………………………………………………….59
3. Metode iterative de rezolvare a sistemelor liniare ……………………………………………………60
4. Erori la rezolvarea numerică a sistemelor liniare……………………………………………………..61
5. Rezolvarea numerică a sistemelor neliniare…………………………………………………………….62
6. Tehnici de programare …………………………………………………………………………………………63
6.1 Procedura Gauss…………………………………………………………………………………………..63
6.2 Procedura Gauss-Seidel…………………………………………………………………………………64
7. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………….65
8. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………..69
9. Exerciţii propuse …………………………………………………………………………………………………70
VII. PROGRAMARE LINIARĂ……………………………………………………………………………………..73
1. Generalităţi …………………………………………………………………………………………………………73
1.1 Tipuri de probleme de programare liniară………………………………………………………..74
2. Metoda grafică…………………………………………………………………………………………………….75
3. Metoda simplex …………………………………………………………………………………………………..75
3.1 Algoritmul simplex primal…………………………………………………………………………….76
3.2 Metoda bazei artificiale (metoda penalizării)……………………………………………………78
4. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………….78
5. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………..95
6. Exerciţii propuse …………………………………………………………………………………………………95
VIII. REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE ORDINARE…………..95
1. Generalităţi …………………………………………………………………………………………………………96
1.1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I………………………………………………………………………96
1.2 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior ………………………………………………………………97
2. Metode numerice pentru probleme cu valori iniţiale. ……………………………………………….97
2.1 Metode pas cu pas. ……………………………………………………………………………………….97
2.1.1 Metode Taylor. …………………………………………………………………………………………98
2.1.2 Metode Runge- Kutta ………………………………………………………………………………..98
2.2 Metode multipas…………………………………………………………………………………………100
3. Sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul I……………………………………………….102
4. Tehnici de programare ……………………………………………………………………………………….103
4.1 Procedura Euler………………………………………………………………………………………….103
4.2 Procedura Runge-Kutta……………………………………………………………………………….104
5. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………..104
6. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………109
7. Exerciţii propuse ……………………………………………………………………………………………….110
IX. REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE
ORDINUL I…………………………………………………………………………………………………………………115
1. Generalităţi ……………………………………………………………………………………………………….116
2. Discretizarea derivatelor parţiale …………………………………………………………………………116
3. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul I ………………………………………………………………..118
3.1 Scheme centrate de tip Euler………………………………………………………………………..119
3.1.1 Varianta explicită ……………………………………………………………………………………119
3.1.2 Varianta implicită……………………………………………………………………………………119
3.2 Schema upwind ………………………………………………………………………………………….120
3.3 Schema Lax……………………………………………………………………………………………….121
3.4 Schema Lax-Wendroff ………………………………………………………………………………..122
3.5 Schema MacCormack …………………………………………………………………………………122
4. Tehnici de programare ……………………………………………………………………………………….122
4.1 Procedura upwind……………………………………………………………………………………….122
4.2 Procedura Thomas pentru schema FTCS implicită………………………………………….123
4.3 Procedura Lax ……………………………………………………………………………………………123
5. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………..124
6. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………126
7. Exerciţii propuse ……………………………………………………………………………………………….127
X. REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE
ORDINUL II ……………………………………………………………………………………………………………….128
1. Generalităţi ……………………………………………………………………………………………………….129
2. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul II……………………………………………………………….129
2.1 Ecuaţii eliptice……………………………………………………………………………………………129
2.1.1 Metoda iterativă Jacobi ……………………………………………………………………………131
2.1.2 Metoda iterativă Gauss-Seidel ………………………………………………………………….132
2.1.3 Metoda SOR…………………………………………………………………………………………..132
2.2 Ecuaţii hiperbolice………………………………………………………………………………………132
2.3 Ecuaţii parabolice……………………………………………………………………………………….134
2.3.1 Schema FTCS explicită……………………………………………………………………………134
2.3.2 Schema FTCS implicită …………………………………………………………………………..135
3. Tehnici de programare ……………………………………………………………………………………….136
3.1 Ecuaţia hiperbolică……………………………………………………………………………………..136
3.2 Ecuaţia parabolică ………………………………………………………………………………………137
4. Exerciţii rezolvate ……………………………………………………………………………………………..138
5. Teme de laborator………………………………………………………………………………………………140
6. Exerciţii propuse ……………………………………………………………………………………………….141
XI. PROGRAME COMPLETE ÎN FORTRAN………………………………………………………………143
1. Determinarea sumei şi produsului a două matrice ………………………………………………….144
2. Aproximarea funcţiilor prin interpolare ………………………………………………………………..145
2.1 Polinomul Lagrange ……………………………………………………………………………………145
2.2 Polinomul Newton………………………………………………………………………………………147
2.3 Aproximarea cu funcţii spline de ordinul 3…………………………………………………….148
2.4 Polinomul Fourier ………………………………………………………………………………………151
2.5 Metoda recursivă pentru calculul TFR…………………………………………………………..153
3. Rezolvarea ecuaţiilor neliniare…………………………………………………………………………….157
3.1 Metoda bisecţiei …………………………………………………………………………………………157
3.2 Metoda Newton-Raphson…………………………………………………………………………….159
3.3 Metoda Bairstow ………………………………………………………………………………………..160
4. Rezolvarea sistemelor liniare de ecuaţii………………………………………………………………..163
5. Integrarea numerică……………………………………………………………………………………………165
6. Rezolvarea sistemelor de ecuaţiilor diferenţiale ordinare de ordinul I ………………………167
7. Rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul I ……………………………………………169
8. Rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul II …………………………………………..172
8.1 Ecuaţii eliptice……………………………………………………………………………………………172
8.2 Ecuaţii hiperbolice………………………………………………………………………………………175
8.3 Ecuaţii parabolice……………………………………………………………………………………….178
BIBLIOGRAFIE ………………………………………………………………………………………………………….181