Descriere

Metode numerice pentru rezolvarea problemelor ingineresti (eBook PDF) – Autori: Sorin Eugeniu Zaharia, Alina Bogoi – de la Universitatea Politehnica București – Editura Letras, 2020 – Colecția Curs Universitar

REFERENŢI: Prof.dr.ing. Corneliu BERBENTE, Prof.dr.ing. Stelian GĂLETUŞE

Acesta este un eBook protejat cu DRM. Pentru a-l citi, descarcă gratuit aplicația Adobe Digital Edition.

PREFAŢĂ
Lucrarea de faţă – Metode numerice pentru rezolvarea problemelor ingineresti – prezintă cele mai folosite tehnici de calcul utilizate în modelarea matematică a fenomenelor fizice. În carte sunt incluse capitole care acoperă o paletă largă de probleme, cum ar fi: erori numerice, aproximarea funcţiilor, integrarea numerică, soluţionarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii liniare şi neliniare precum şi rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale.
Metodele numerice aduse în discuţie nu sunt noi, dar s-a considerat că un alt tip de abordare, o altă manieră de prezentare poate aduce o mai bună clarificare a materialul didactic din acest domeniu. Lucrarea prezintă aspecte teoretice de bază şi un număr mare de aplicaţii rezolvate cât mai explicit şi mai pe înţelesul celor care sunt la început şi intră pentru prima oară în tainele programării metodelor numerice de calcul.

Autorii au încercat o expunere mai intuitivă a teoriei care stă la baza metodelor numerice considerate, urmărindu-se înţelegerea cu uşurinţă a metodelor prezentate. Cartea se doreşte un instrument util pentru aplicaţiile curente, dându-se o serie întreagă de exemple rezolvate, cât şi proceduri complete ale diverşilor algoritmi, scrise în limbajul Fortran, astfel încât cititorul poate să transcrie un algoritm cu uşurinţă. În acest sens, lucrarea de faţă poate fi un instrument util pentru susţinerea oricărui curs de Metode numerice, oferind o multitudine de subiecte pentru orele de
aplicaţii, precum şi pentru studiul individual.

Trebuie subliniat fără echivoc faptul că majoritatea subrutinelor, procedurilor sau programelor prezentate au fost realizate într-o manieră simplă, robustă, nesofisticată, dar eficientă, fiind astfel posibilă o iniţiere rapidă în tehnica programării şi utilizării metodelor numerice.

Experienţa pedagogică ne-a determinat să scriem o lucrare care să aducă o viziune pragmatică şi mai puţin pretenţioasă în privinţa abordărilor teoretice, dar să abunde în exemple cât mai pe înţelesul studenţilor sau al celor interesaţi. Recomandăm această carte în mod special studenţilor din facultăţile cu profil tehnic, dar şi tuturor acelora care, în activitatea lor profesională, folosesc modelarea numerică şi proiectarea asistată de calculator. Mai mult, parcurgerea şi înţelegerea metodelor numerice prezentate reprezintă un pas important în abordarea unor domenii mai complexe, extrem de actuale, cum ar fi cel al simulărilor numerice în diferite
domenii.

Lucrarea este rezultatul cooperării autorilor: prof. dr. ing. Sorin Eugen Zaharia şi ş.l. dr. ing. mat. Alina Bogoi, de la Facultatea de Inginerie Aerospaţială din cadrul Universităţii „Politehnica” Bucureşti.
Mulţumim anticipat tuturor celor care se vor interesa de lucrare, precum şi pentru observaţiile sau sugestiile pe care ni le vor transmite pentru realizarea volumului următor.

Autorii

 

CUPRINS
CUPRINS …………………………………………………………………………………………………………5
PREFAŢĂ ………………………………………………………………………………………………………13
1. MODELAREA MATEMATICĂ ŞI REZOLVAREA PROBLEMELOR
INGINEREŞTI ……………………………………………………………………………………………….15
1.1. Modelarea matematică…………………………………………………………………………..17
1.2. Exemple………………………………………………………………………………………………18
2. ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL………………………………………………33
2.1. Definiţia vectorilor ……………………………………………………………………………….35
2.1.1. Definiţia vectorilor. Notaţii……………………………………………………………….35
2.1.2. Operaţii pe N K ……………………………………………………………………………….35
2.1.3. Bază canonică …………………………………………………………………………………36
2.1.4. Subspaţiu vectorial…………………………………………………………………………..37
2.1.5. Baza şi dimensiunea unui spaţiu vectorial …………………………………………..37
2.2. Definiţia matricelor ………………………………………………………………………………38
2.3. Operaţii cu matrice ……………………………………………………………………………….42
2.3.1. Adunarea şi scăderea matricelor ………………………………………………………..42
2.3.2. Înmulţirea unei matrice cu un scalar …………………………………………………..43
2.3.3. Produsul matricelor ………………………………………………………………………….44
2.3.4. Înmulţirea unei matrice cu un vector…………………………………………………..46
2.3.5. Matricea inversă………………………………………………………………………………46
2.4. Submatrice…………………………………………………………………………………………..47
2.5. Schimbarea de bază………………………………………………………………………………49
2.5.1. Efectul schimbării bazei asupra componentelor unui vector………………….49
2.5.2. Efectul schimbării de bază asupra elementelor unei matrice ………………….50
2.6. Matrice speciale……………………………………………………………………………………51
2.7. Reguli de operare cu matrice………………………………………………………………….52
2.8. Determinantul unei matrice pătratice ………………………………………………………54
2.8.1. Regula lui Cramer ……………………………………………………………………………55
2.9. Matricea de trecere la schimbarea bazei…………………………………………………..58
2.10. Matrice particulare ……………………………………………………………………………….62
2.10.1. Matrice diagonale…………………………………………………………………………..62
2.10.2. Matrice triunghiulare………………………………………………………………………63
2.10.3. Matrice bandă………………………………………………………………………………..64
2.10.4. Normele vectorilor şi matricelor ………………………………………………………65
2.11. Valori proprii. Vectori proprii………………………………………………………………..67
2.12. Exerciţii propuse ………………………………………………………………………………….69
3. ERORI ÎN CALCULUL NUMERIC ……………………………………………………….71
3.1. Introducere ………………………………………………………………………………………….73
3.2. Cifre semnificative ……………………………………………………………………………….73
3.3. Acurateţe şi precizie ……………………………………………………………………………..75
3.4. Definirea erorilor………………………………………………………………………………….77
3.5. Erori de rotunjire ………………………………………………………………………………….82
3.5.1. Reprezentarea numerelor în calculator………………………………………………..82
3.5.1.1. Sisteme de numeraţie ……………………………………………………………….82
3.5.1.2. Reprezentarea întreagă……………………………………………………………..83
3.5.1.3. Reprezentarea în virgulă mobilă ………………………………………………..84
3.6. Erorile de trunchiere……………………………………………………………………………..85
3.6.1. Dezvoltarea în serii Taylor………………………………………………………………..85
3.6.2. Restul Taylor…………………………………………………………………………………..94
3.6.3. Utilizarea seriilor Taylor pentru estimarea erorilor de trunchiere……………97
3.7. Propagarea erorii ………………………………………………………………………………..104
3.7.1. Funcţii de o singură variabilă…………………………………………………………..104
3.7.2. Stabilitate şi condiţionare………………………………………………………………..106
3.8. Eroarea numerică totală……………………………………………………………………….108
3.8.1. Variaţia erorii numerice totale………………………………………………………….108
3.8.2. Controlul erorilor numerice……………………………………………………………..110
3.9. Erori catastrofale ………………………………………………………………………………..111
3.9.1. Erori mari “blunders”……………………………………………………………………..111
3.9.2. Erorile de formulare ……………………………………………………………………….111
3.9.3. Date incerte …………………………………………………………………………………..112
4. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE………………………………113
4.1. Introducere ………………………………………………………………………………………..115
4.2. Metode de interval………………………………………………………………………………117
4.2.1. Metoda grafică ………………………………………………………………………………117
4.2.2. Metoda bisecţiei …………………………………………………………………………….117
4.2.2.1. Principiul metodei ………………………………………………………………….117
4.2.2.2. Criterii de oprire şi estimare a erorii …………………………………………123
4.2.2.3. Procedura bisecţiei …………………………………………………………………125
4.2.2.4. Minimizarea evaluărilor funcţiei………………………………………………126
4.3. Metode deschise …………………………………………………………………………………128
4.3.1. Introducere ……………………………………………………………………………………128
4.3.2. Metoda iteraţiei simple cu punct fix………………………………………………….128
4.3.2.1. Principiul metodei ………………………………………………………………….128
4.3.2.2. Convergenţa metodei ……………………………………………………………..131
4.3.2.3. Procedură pentru iteraţia cu punct fix ……………………………………….135
4.3.3. Metoda Newton – Raphson……………………………………………………………..136
4.3.3.1. Principiul metodei ………………………………………………………………….136
4.3.3.2. Criterii de oprire a algoritmului şi estimarea erorilor…………………..138
4.3.3.3. Capcanele metodei Newton-Raphson ……………………………………….140
4.3.3.4. Algoritm pentru metoda Newton-Raphson ……………………………….142
4.3.4. Metoda secantei……………………………………………………………………………..145
4.3.4.1. Principiul metodei ………………………………………………………………….145
4.3.4.2. Algoritmul pentru metoda secantei …………………………………………..147
4.3.4.3. Metoda secantei modificate……………………………………………………..147
4.4. Rădăcini multiple ……………………………………………………………………………….150
4.5. Sisteme de ecuaţii neliniare ………………………………………………………………….156
4.5.1. Introducere ……………………………………………………………………………………156
4.5.2. Iteraţia cu punct fix ………………………………………………………………………..157
4.5.3. Metoda Newton……………………………………………………………………………..160
4.6. Polinoamele în inginerie şi ştiinţă …………………………………………………………165
4.6.1. Evaluarea polinoamelor ………………………………………………………………….166
4.6.2. Diviziunea polinoamelor…………………………………………………………………167
4.7. Metode de determinare a rădăcinilor polinoamelor………………………………….170
4.7.1. Metode convenţionale …………………………………………………………………….170
4.7.2. Metoda Müller……………………………………………………………………………….172
4.7.3. Metoda Bairstow ……………………………………………………………………………179
4.8. Exerciţii propuse ………………………………………………………………………………..188
5. INTERPOLAREA NUMERICĂ ……………………………………………………………191
5.1. Noţiuni introductive ……………………………………………………………………………193
5.2. Interpolarea cu polinoame Lagrange……………………………………………………..194
5.2.1. Principiul metodei ………………………………………………………………………….194
5.3. Interpolarea Newton cu diferenţe divizate ……………………………………………..200
5.3.1. De ce interpolarea cu diferenţe divizate? …………………………………………..200
5.3.2. Interpolarea liniară …………………………………………………………………………200
5.3.3. Interpolarea pătratică………………………………………………………………………205
5.3.4. Polinomul de interpolare Newton cu diferenţe divizate de ordinul n……..209
5.3.5. Polinomul de interpolare Newton cu diferenţe finite de ordinul n…………213
5.3.6. Eroarea în interpolarea polinomială ………………………………………………….215
5.4. Interpolare Lagrange în 2D şi 3D………………………………………………………….217
5.5. Interpolarea cu funcţii spline………………………………………………………………..218
5.5.1. Interpolarea cu funcţii spline de ordinul 1 …………………………………………219
5.5.2. Interpolarea spline de ordinul 2 ……………………………………………………….222
5.5.3. Interpolarea spline de ordinul 3 ……………………………………………………….225
5.6. Exerciţii propuse ………………………………………………………………………………..227
6. DERIVAREA ŞI INTEGRAREA NUMERICĂ ……………………………………..229
6.1. Derivarea numerică …………………………………………………………………………….231
6.1.1. Aproximarea derivatei de ordinul întâi prin diferenţe finite …………………231
6.1.1.1. Aproximarea prin diferenţe finite înainte de ordinul I …………………231
6.1.1.2. Aproximarea prin diferenţe finite înapoi de ordinul I ………………….232
6.1.1.3. Aproximarea prin diferenţe centrate de ordinul al doilea …………….233
6.1.1.4. Aproximarea prin diferenţe înapoi. de ordinul al doilea ………………234
6.1.1.5. Aproximarea prin diferenţe înainte. de ordinul al doilea ……………..234
6.1.2. Aproximaţia prin diferenţe finite a derivatelor de ordin superior. …………237
6.1.3. Funcţii cu mai multe variabile………………………………………………………….238
6.2. Integrarea numerică…………………………………………………………………………….243
6.3. Formule de integrare Newton-Côtes ……………………………………………………..245
6.3.1. Metoda trapezelor ………………………………………………………………………….248
6.3.2. Metoda Simpson 1/3 ………………………………………………………………………250
6.3.3. Metoda Simpson 3/8 ………………………………………………………………………253
6.4. Extrapolarea Richardson ……………………………………………………………………..257
6.5. Integrarea Romberg…………………………………………………………………………….259
6.6. Formule de cuadratură Gauss ……………………………………………………………….261
6.6.1. Polinoame ortogonale …………………………………………………………………….262
6.6.1.1. Polinoame Legendre ………………………………………………………………263
6.6.1.2. Polinoame Cebâşev ………………………………………………………………..264
6.6.1.3. Polinoame Hermite ………………………………………………………………..265
6.6.1.4. Polinoame Laguerre ……………………………………………………………….265
6.6.2. Metoda de integrare Gauss-Legendre ……………………………………………….266
6.6.3. Calculul integralelor improprii…………………………………………………………272
6.7. Integrale multiple ……………………………………………………………………………….277
6.8. Exerciţii propuse ………………………………………………………………………………..278
7. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE ………………………………………………………281
7.1. Introducere ………………………………………………………………………………………..283
7.2. Eliminarea naivă Gauss ……………………………………………………………………….284
7.2.1. Principiul metodei ………………………………………………………………………….284
7.2.2. Numărarea operaţiilor …………………………………………………………………….291
7.3. Capcanele metodei eliminării ……………………………………………………………….295
7.3.1. Împărţirea prin zero………………………………………………………………………..295
7.3.2. Erori de rotunjire……………………………………………………………………………295
7.3.3. Sistem rău condiţionat…………………………………………………………………….296
7.3.4. Sisteme singulare …………………………………………………………………………..302
7.4. Tehnici pentru îmbunătăţirea soluţiilor ………………………………………………….302
7.4.1. Utilizarea mai multor cifre semnificative…………………………………………..303
7.4.2. Pivotarea ………………………………………………………………………………………303
7.4.3. Scalarea ………………………………………………………………………………………..307
7.4.4. Algoritmul pentru eliminarea Gauss …………………………………………………310
7.5. Descompunerea LU…………………………………………………………………………….313
7.5.1. Privire de ansamblu asupra descompunerii LU…………………………………..315
7.5.2. Versiunea descompunerii LU a eliminării Gauss………………………………..317
7.5.3. Algoritmul descompunerii LU …………………………………………………………325
7.5.4. Sistemele de ecuaţii tridiagonale. Algoritmul Thomas ………………………..327
7.6. Inversarea matricelor…………………………………………………………………………..330
7.6.1. Calculul matricei inverse prin eliminarea Gauss-Jordan………………………330
7.6.2. Calculul matricei inverse cu ajutorul descompunerii LU……………………..332
7.6.3. Calculul de tip sistem – răspuns……………………………………………………….336
7.6.4. Analiza erorii şi condiţionarea sistemului…………………………………………338
7.6.4.1. Numărul de condiţionare al unei matrice …………………………………..339
7.6.5. Rafinare iterativă……………………………………………………………………………342
7.7. Metode iterative………………………………………………………………………………….343
7.7.1. Metoda Jacobi ……………………………………………………………………………….344
7.7.2. Metoda Gauss-Seidel ……………………………………………………………………..346
7.7.3. Suprarelaxarea succesivă (SOR)………………………………………………………350
7.7.4. Convergenţa metodelor iterative ………………………………………………………352
7.8. Exerciţii propuse ………………………………………………………………………………..356
8. ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE ……………………………………………..361
8.1. Metode pas cu pas ………………………………………………………………………………363
8.1.1. Metoda Euler…………………………………………………………………………………365
8.1.2. Analiza erorii pentru metoda Euler …………………………………………………..368
8.1.3. Metoda Euler modificată. Metoda Heun ……………………………………………370
8.1.4. Metodele Runge – Kutta …………………………………………………………………371
8.1.4.1. Introducere ……………………………………………………………………………371
8.1.4.2. Metode Runge – Kutta de ordinul patru…………………………………….373
8.1.4.3. Metode Runge-Kutta de ordinul cinci……………………………………….379
8.2. Metode multipas…………………………………………………………………………………381
8.3. Sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare …………………………………………………386
8.3.1. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de ordinul superior …………………………388
8.3.2. Adaptarea pasului la metodele Runge-Kutta………………………………………394
8.3.3. Algoritmul computaţional pentru metodele Runge – Kutta ………………….395
8.4. Exerciţii propuse ………………………………………………………………………………..397
BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………………………………………..401